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数学なんてキライダーーーー!!チョコになっちゃえーーーー!!!
数学は嫌いだよ。好きでもないゲームを九時間ぶっ続けでやらされたくらいときくらいの気分になる。

無題 Name 名無し 06/04/20(木)23:20 No.53602 [返信]
d/dt[∫(0,t) G(t-s)f(s)ds] =
G(0)f(t) + ∫(0,t) G'(t-s)f(s)ds

これを教授が当たり前のように書いてたんですけど、だれか解説してもらえますか?
>> 無題 Name 名無し 06/04/20(木)23:44 No.53603
畳み込みを微分してるだけだけど.
>> 無題 Name 名無し 06/04/20(木)23:48 No.53605
>53603
詳しく教えていただけますか?
>> 無題 Name 名無し 06/04/21(金)02:28 No.53616
畳み込みの微分なんてあったっけ?
>> 無題 Name 名無し 06/04/22(土)02:04 No.53670
微積分はよく分からないので間違っていたら指摘してください。
φ(t)=∫(0,t) G(t-s)f(s)ds
ψ(t,s)=∫(0,s) G(t-s)f(s)ds
と置きます。定義からφ(t)=ψ(t,t)となります。
ψ(t,s)をt,sについて偏微分すると
(∂/∂t)ψ(t,s)=(∂/∂t)∫(0,s) G(t-s)f(s)ds=∫(0,s) (∂/∂t)G(t-s)f(s)ds
        =∫(0,s)G'(t-s)f(s)ds
(∂/∂s)ψ(t,s)=(∂/∂s)∫(0,s) G(t-s)f(s)ds=G(t-s)f(s)
となります。
このとき 問題式の左辺 = (d/dt)φ(t) = (∂/∂t)ψ(t,t)+(∂/∂s)ψ(t,t)
=∫(0,t)G'(t-s)f(s)ds + G(t-t)f(t)
=G(0)f(t) + ∫(0,t)G'(t-s)f(s)ds = 右辺 となります。
>> 無題 Name 名無し 06/04/22(土)04:23 No.53673
>53670
よく自分の書いたのを見れ。仮定からおかしい

まあへんびぶん
>> 無題 Name 名無し 06/04/22(土)04:45 No.53674
すまん、途中で切れた。
まあ偏微分なんて使わなくてもきちんと微分の定義に立ち返れば解ける

d/dt[∫(0,t) G(t-s)f(s)ds]
=lim[h→0]1/h[∫(0,t+h)G(t+h-s)f(s)ds
-∫(0,t)G(t-s)f(s)ds]
=lim[h→0]1/h[∫(0,t+h)G(t+h-s)f(s)ds
-∫(0,t+h)G(t-s)f(s)ds+∫(t,t+h)G(t-s)f(s)ds]
=lim[h→0]1/h[∫(0,t+h){G(t+h-s)-G(t-s)}f(s)ds
+∫(t,t+h)G(t-s)f(s)ds

ここで
lim[h→0]∫(0,t+h)[1/h{G(t+h-s)-G(t-s)}f(s)ds]
=∫(0,t)G'(t-s)f(s)ds

また、G(t-s)f(s)の原始関数をαとすると
lim[h→0]1/h∫(t,t+h)G(t-s)f(s)ds
=lim[h→0]1/h{α(t+h)-α(t)}
=α'(t)=G(0)f(s)

それにしても何の説明も無く進めるなんてシビアな教授だね
>> 無題 Name 名無し 06/04/22(土)09:52 No.53680
d/dt[∫(0,t) G(t-s)f(s)ds] =
G(0)f(t) + ∫(0,t) G'(t-s)f(s)ds
これは合成関数の微分でしょ
だから53670の考えでよいとは思うんだが
53670のレスはψの第2変数と積分変数が一緒で分かりづらい
あとGやfの条件が書いていないので何ともいえないが、
正確には、微分積分の順序交換が可能であるか、
本当に積分関数が微分できるかとかチェックしなければいけない
>> 無題 Name 名無し 06/04/22(土)15:57 No.53705
どの辺で合成関数の微分法を使うの?
>> 無題 Name 名無し 06/04/22(土)16:50 No.53710
合成関数の微分
d/dt[F(x(t),y(t))]
=x'(t)(∂F/∂x)(x(t),y(t))+y'(t)(∂F/∂y)(x(t),y(t))
この問題では
F(x,y)=∫(0,x) G(y-s)f(s)ds, x(t)=y(t)=t


誰だよお前ら。日本人カ?